Matematické slovní úlohy – lineární rovnice (#1 až #10)

Lineární rovnice jsou základním stavebním kamenem pro pochopení algebraických principů a jsou nezbytné pro rozvíjení matematických, analytických a kritických myšlenkových schopností. Tyto rovnice, charakterizované proměnnými s nejvýše první mocninou, se objevují v široké škále reálných situací, včetně problémů s rozpočtem, plánováním tras a predikcí vývoje. Seznámení s lineárními rovnicemi skrze praktické příklady umožňuje studentům lépe pochopit, jak matematika ovlivňuje každodenní život a jak ji mohou využít k řešení konkrétních problémů. Díky přístupu k online nástrojům a aplikacím pro řešení lineárních rovnic se studenti mohou naučit, jak tyto koncepty efektivně využívat a aplikovat v praktických situacích.

Investice Anety a Jakuba

Příběh

Aneta a Jakub se rozhodli společně investovat do nového startupu. Aneta investovala 2000 Kč a slíbila přidat dalších 500 Kč každý měsíc. Jakub investoval počáteční částku 1500 Kč a slíbil přidat 800 Kč každý měsíc. Po kolika měsících bude celková investice Anety a Jakuba stejná?


Řešení úlohy

  • Nastavte rovnici pro celkovou investici Anety a Jakuba v závislosti na počtu měsíců.
  • Vyřešte rovnici pro počet měsíců, kdy budou investice stejné.

    • Vzorec

  • Anetina investice = Počáteční částka Anety + (500 × Počet měsíců)
  • Jakubova investice = Počáteční částka Jakuba + (800 × Počet měsíců)

    • Výpočet

  • Nechť x je počet měsíců, kdy jsou investice stejné.
  • 2000 + 500x = 1500 + 800x
  • 500x – 800x = 1500 – 2000
  • -300x = -500
  • x = -500 / -300
  • x = 5/3

    • Investice Anety a Jakuba budou stejné po 5/3, tedy přibližně po 1 měsíci a 2/3 měsíce.

    Výlet na kole

    Příběh

    Na cyklistickém výletě si Zuzka všimla, že za první hodinu ujela 15 km. Za druhou hodinu ujela o 5 km více než za první. Za třetí hodinu ujela celkem 45 km. Kolik kilometrů ujela Zuzka za druhou a třetí hodinu dohromady?


    Řešení úlohy

  • Označte počet kilometrů ujetých za druhou hodinu jako x.
  • Za druhou hodinu Zuzka ujela x km.
  • Za třetí hodinu ujela o 5 km méně než za druhou, tzn. x – 5 km.
  • Celkem za druhou a třetí hodinu ujela x + (x – 5) km.
  • Víme, že za druhou a třetí hodinu ujela celkem 45 km.
  • Nyní můžeme sestavit rovnici: x + (x – 5) = 45.
  • Vyřešte rovnici pro x.

    • Vzorec

  • Celková vzdálenost = Vzdálenost za 2. hodinu + Vzdálenost za 3. hodinu

    • Výpočet

  • Celková vzdálenost = x + (x – 5) = 45 km
  • 2x – 5 = 45
  • 2x = 50
  • x = 25 km

    • Zuzka za druhou hodinu ujela 25 km a za třetí hodinu 20 km (25 – 5 = 20).

    Za druhou a třetí hodinu dohromady ujela 45 km (25 + 20 = 45).

    Pekařova výzva

    Příběh

    Pekař Jan chce péct chleba se semínky. Má k dispozici 2 kg slunečnicových a 3 kg lněných semínek. Semínka se prodávají v pytlících po 0,5 kg. Kolik pytlíků každého druhu musí koupit, aby měl dohromady 5 kg směsi?


    Řešení úlohy

  • Označte počet pytlíků slunečnicových semínek jako x a počet pytlíků lněných semínek jako y.
  • Jeden pytlík slunečnicových semínek váží 0,5 kg, takže x pytlíků váží 0,5x kg.
  • Jeden pytlík lněných semínek váží 0,5 kg, takže y pytlíků váží 0,5y kg.
  • Celková váha směsi je 5 kg.
  • Nyní můžeme sestavit rovnici: 0,5x + 0,5y = 5.
  • Víme také, že Jan má k dispozici 2 kg slunečnicových semínek, což odpovídá 4 pytlíkům (2 / 0,5 = 4).
  • Tím pádem můžeme sestavit druhou rovnici: x = 4.
  • Nyní máme dvě rovnice se dvěma neznámými. Můžeme je řešit substituční metodou nebo jinou vhodnou metodou.

    • Vzorec

  • Celková váha = Váha slunečnicových semínek + Váha lněných semínek

    • Výpočet

  • 0,5x + 0,5y = 5 (celková váha)
  • x = 4 (počet pytlíků slunečnicových semínek)
  • Dosadíme x = 4 do první rovnice: 0,5(4) + 0,5y = 5
  • 2 + 0,5y = 5
  • 0,5y = 3
  • y = 6 (počet pytlíků lněných semínek)

    • Jan musí koupit 4 pytlíky slunečnicových semínek a 6 pytlíků lněných semínek.

    Letenka do Paříže

    Příběh

    Zuzana si chce koupit letenku do Paříže. Základní cena letenky je 4 000 Kč. Za zavazadlo si Zuzana chce připlatit 500 Kč a za výběr sedadla 200 Kč. Kolik Kč bude Zuzana platit celkem?


    Řešení úlohy

  • Označte celkovou cenu letenky jako x.
  • Základní cena letenky je 4 000 Kč.
  • Za zavazadlo si Zuzana chce připlatit 500 Kč.
  • Za výběr sedadla si Zuzana chce připlatit 200 Kč.
  • Celková cena letenky se skládá ze základní ceny, ceny za zavazadlo a ceny za výběr sedadla.
  • Nyní můžeme sestavit rovnici: x = 4 000 + 500 + 200.

    • Vzorec

  • Celková cena = Základní cena + Cena za zavazadlo + Cena za výběr sedadla

    • Výpočet

  • x = 4 000 + 500 + 200
  • x = 4 700 Kč

    • Zuzana bude platit celkem 4 700 Kč.

    Zahradní sklizeň

    Příběh

    Na zahradě se sklidilo 120 kg rajčat a 80 kg okurek. Ze 70 % rajčat se vyrobí rajčatový protlak a z 60 % okurek se vyrobí nakládané okurky. Kolik kilogramů rajčatového protlaku a nakládaných okurek se dohromady vyrobí?


    Řešení úlohy

  • Označte množství vyrobeného rajčatového protlaku jako x a množství vyrobených nakládaných okurek jako y.
  • Ze 70 % rajčat se vyrobí rajčatový protlak, tzn. z 70/100 * 120 kg rajčat = 84 kg rajčat.
  • Z 60 % okurek se vyrobí nakládané okurky, tzn. z 60/100 * 80 kg okurek = 48 kg okurek.
  • Celkové množství vyrobených produktů je x + y.
  • Nyní můžeme sestavit rovnici: x + y = 84 + 48.

    • Vzorec

  • Celkové množství produktů = Množství rajčatového protlaku + Množství nakládaných okurek

    • Výpočet

  • x + y = 84 + 48
  • x + y = 132 kg

    • Dohromady se vyrobí 132 kg rajčatového protlaku a nakládaných okurek.

    Míchání barev

    Příběh

    Malířka Zuzana chce namíchat tmavě modrou barvu. Má k dispozici světle modrou barvu a tmavě modrou barvu. Ví, že na 1 litr tmavě modré barvy potřebuje 3 litry světle modré barvy. Kolik litrů světle modré barvy potřebuje Zuzana, pokud chce namíchat 0,5 litru tmavě modré barvy?


    Řešení úlohy

  • Označte množství potřebné světle modré barvy jako x.
  • Na 1 litr tmavě modré barvy Zuzana potřebuje 3 litry světle modré barvy.
  • Na 0,5 litru tmavě modré barvy Zuzana potřebuje 3/1 * 0,5 litru = 1,5 litru světle modré barvy.
  • Nyní můžeme sestavit rovnici: x = 1,5.

    • Vzorec

  • Množství světle modré barvy = 3 * Množství tmavě modré barvy

    • Výpočet

  • x = 3 * 0,5
  • x = 1,5 litru

    • Zuzana potřebuje 1,5 litru světle modré barvy.

    Nákup v obchodě

    Příběh

    V obchodě se prodává jablko za 5 Kč a hruška za 8 Kč. Zuzana si koupila 3 jablka a 2 hrušky. Kolik Kč zaplatila Zuzana celkem?


    Řešení úlohy

  • Označte celkovou cenu nákupu jako x.
  • Jablko stojí 5 Kč a Zuzana si koupila 3 jablka, takže za jablka zaplatila 3 * 5 Kč = 15 Kč.
  • Hruška stojí 8 Kč a Zuzana si koupila 2 hrušky, takže za hrušky zaplatila 2 * 8 Kč = 16 Kč.
  • Celková cena nákupu je součtem ceny jablek a ceny hrušek.
  • Nyní můžeme sestavit rovnici: x = 15 + 16.

    • Výlet na kole 2

    Příběh

    Na cyklistickém výletě si Zuzka všimla, že za první hodinu ujela 15 km. Za druhou hodinu ujela o 5 km více než za první. Za třetí hodinu ujela celkem 45 km. Kolik kilometrů ujela Zuzka za druhou a třetí hodinu dohromady?


    Řešení úlohy

  • Označte počet kilometrů ujetých za druhou hodinu jako x.
  • Za druhou hodinu Zuzka ujela x km.
  • Za třetí hodinu ujela o 5 km méně než za druhou, tzn. x – 5 km.
  • Celkem za druhou a třetí hodinu ujela x + (x – 5) km.
  • Víme, že za druhou a třetí hodinu ujela celkem 45 km.
  • Nyní můžeme sestavit rovnici: x + (x – 5) = 45.

    • Vzorec

  • Celková vzdálenost = Vzdálenost za 2. hodinu + Vzdálenost za 3. hodinu

    • Výpočet

  • Celková vzdálenost = x + (x – 5) = 45 km
  • 2x – 5 = 45
  • 2x = 50
  • x = 25 km

    • Zuzka za druhou hodinu ujela 25 km a za třetí hodinu 20 km (25 – 5 = 20).

    Za druhou a třetí hodinu dohromady ujela 45 km (25 + 20 = 45).

    Půjčení kola

    Příběh

    Půjčovna kol nabízí kola za 100 Kč za den. Zuzana si chce půjčit kolo na 3 dny a k tomu si chce půjčit helmu za 50 Kč za den. Kolik Kč zaplatí Zuzana celkem?


    Řešení úlohy

  • Označte celkovou cenu půjčení jako x.
  • Půjčení kola stojí 100 Kč za den a Zuzana si ho chce půjčit na 3 dny, takže za kolo zaplatí 100 * 3 Kč = 300 Kč.
  • Půjčení helmy stojí 50 Kč za den a Zuzana si ji chce půjčit na 3 dny, takže za helmu zaplatí 50 * 3 Kč = 150 Kč.
  • Celková cena půjčení je součtem ceny kola a ceny helmy.
  • Nyní můžeme sestavit rovnici: x = 300 + 150.

    • Vzorec

  • Celková cena = Cena kola + Cena helmy

    • Výpočet

  • x = 300 + 150
  • x = 450 Kč

    • Zuzana zaplatí za půjčení kola a helmy celkem 450 Kč.

    Směs ořechů

    Příběh

    Zuzana chce namíchat 1 kg směsi ořechů. Má k dispozici vlašské ořechy za 200 Kč/kg a lískové ořechy za 150 Kč/kg. Kolik kilogramů vlašských ořechů a lískových ořechů musí Zuzana použít, aby směs stála 175 Kč?


    Řešení úlohy

  • Označte množství vlašských ořechů v kg jako x a množství lískových ořechů v kg jako y.
  • Celková hmotnost směsi je x + y = 1 kg.
  • Cena vlašských ořechů je 200 Kč/kg a Zuzana jich chce použít x kg, takže cena vlašských ořechů bude 200x Kč.
  • Cena lískových ořechů je 150 Kč/kg a Zuzana jich chce použít y kg, takže cena lískových ořechů bude 150y Kč.
  • Celková cena směsi je 175 Kč.
  • Nyní můžeme sestavit soustavu rovnic:
    • x + y = 1
    • 200x + 150y = 175

    Řešení soustavy rovnic

    • Z první rovnice můžeme vyjádřit y: y = 1 – x.
    • Dosazením do druhé rovnice získáme: 200x + 150(1 – x) = 175.
    • 50x = 25
    • x = 0,5 kg
    • Dosazením do první rovnice získáme: 0,5 + y = 1.
    • y = 0,5 kg

    Zuzana musí použít 0,5 kg vlašských ořechů a 0,5 kg lískových ořechů.

    Info: Chtěli byste více slovních úloh nebo máte návrh na zlepšení? Dejte nám o tom vědět. Můžete nás také sdílet a mluvit o tom s přáteli.🙂